Unidad 4 - Flexion

TEMARIO:

4	FLEXIÓN
4.1	DIAGRAMA DE CORTANTE Y MOMENTO FLEXIONANTE EN VIGAS ESTETICAMENTE DETERMINADAS
4.2	ESFUERZO NORMAL Y CORTANTE EN VIGAS
4.3	DEFLEXION EN VIGAS
4.4 4.1	VIGAS ESTETICAMENTE INDETERMINADAS DIAGRAMA DE CORTANTE Y MOMENTO FLEXIONANTE EN VIGAS ESTÁTICAMENTE DETERMINADAS. El diseño de una viga vasado en la resistencia en primer lugar requiere hallar el cortante y momento máximo en la viga una forma de hacerlo es expresando V y M como funciones de la posición arbitraria x a lo largo del eje de la viga. Se puede representar por medio de graficas llamadas diagramas de cortante y momento puede representarse entonces por medio de graficas llamadas diagrama de cortante momento por tanto en estas graficas pueden obtenerse los valores máximos de V y M. En general las funciones de cortante y momento flexionante interno obtenidas como función de x serán descontinuas, o sus pendientes serán descontinuas en los puntos donde se aplican cargas o pares concentrados. Por eso las funciones de cortantes y momento flexionante deben determinarse para cada región de la viga localizada entre dos discontinuidades de cargas cuales quiera. Por ejemplo en la figura 1A se utilizan las coordenadas x1, x2, y x3 para describir las variaciones  de V y M a lo largo de la viga. Estas coordenadas serán válidas solo entre las regiones A y B para x, entre B y C para x2, y entre C y D para x3 si bien cada una de las coordenadas tener el mismo origen, este no tiene que ser el caso. De hecho, puede ser más fácil de expresar V y M como funciones de x1, x2, y x3 cuyos orígenes están en A, C, y D como se muestra en la figura 1B. Aquí x1 es positiva hacia la derecha y x2 y x3 son positivas hacia la izquierda. 4.2 ESFUERZO NORMAL Y CORTANTE EN VIGAS Esfuerzo normal. La intensidad de la fuerza o fuerza por unidad de área, que actúa normal a ΔA se define como el esfuerzo normal, Ơ(sigma).   Esfuerzo cortante: del mismo modo, la intensidad de la fuerza, o fuerza por unidad de área que actúa tangente a ΔA se llama esfuerzo cortante y τ(tau). Esta componente se expresa matemáticamente así  4.3 DEFLEXIÓN EN VIGAS Los pares y las fuerzas transversales aplicados a las vigas hacen que se flexionen en el plano de acción de esas fuerzas o pares. Se dedujo una relación entre la cuerva de la curva de deflexión de una viga y el momento flexionante en una sección transversal. Se la relaciona la deflexión y la pendiente de vigas con sus cargas y sus apoyos. Como se puede aplicar la curva de deflexión se caracteriza por una función υ(x) que determina el desplazamiento transversal (es decir en la dirección y) de los puntos que se encuentra en el eje de la viga, la pendiente de la curva de deflexión se representa por θ(x) Ahí varias razones para estudiar la deflexión de vigas por ejemplo, puede ser necesario conocer la deflexión máxima de determinada viga bajo determinado conjunto de carga  4.4 VIGAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS La pendiente se determina y la deflexión de vigas estéticamente determinada. En esta aplicaremos los procedimientos de solución para determinar la pendiente y la deflexión de vigas estéticamente indeterminada. Ahí cuatro reacciones, pero solo se puede plantar tres ecuaciones independientes de equilibrio, por lo que esta viga es estáticamente independiente. La adición de la restricción de rotación en A da lugar a un momento de rotación redundante MA   también se puede considerar que la viga en potrada estáticamente determinanda a la cual sea agregado un apoyo en el extremo B, que la hace estáticamente indeterminada originando el nombre de viga empotrada y apoyada Se denomina de esta manera a una barra sujeta a carga lateral; perpendicular a su eje longitudinal, en la que el número de reacciones en los soportes superan al número de ecuaciones disponibles del equilibrio estático, esto es: el número de incógnitas es mayor que: A continuación se muestra la viga indicando las reacciones en los soportes. En el soporte “A” existe sólo reacción vertical puesto que el rodillo no impide el desplazamiento horizontal. En el empotramiento en “B” hay dos reacciones dado que este soporte no  permite ni desplazamientos ni rotaciones Puesto que existen tres reacciones desconocidas; las fuerzas cortantes VA  y  VB y el momento flexionante MB y sólo se dispone de dos ecuaciones de equilibrio; ÓM y  ÓFy, la viga es estáticamente indeterminada o hiperestática pues no es posible conocer las tres reacciones con solo dos ecuaciones. (Hay más incógnitas que ecuaciones). Otro tipo de viga hiperestática es aquella que tiene más de dos soportes, y que se denomina Viga Continua, como la que se muestra en la figura Este caso corresponde a una barra mucho más compleja de analizar puesto que ahora existen cinco reacciones externas de soporte; las fuerzas cortantes verticales y el momento flexionante en el empotramiento ubicado en “A”.

Unidad 5 - Esfuerzos Combinados

TEMARIO UNIDAD 5

5	ESFUERZOS COMBINADOS
5.1	CIRCULO DE MOHR PARA ESFUERZOS
5.2	ANALISIS DE ESFUERZOS BAJO CARGAS COMBINADAS
5.3	ESTRUCTURAS
5.4	COLUMNAS ESFUERZOS COMBINADOS CIRCULO DE MOHR PARA ESFUERZOS El círculo de Mohr es un método gráfico para determinar el estado tensional en los distintos puntos de un cuerpo. Entre las tensiones que existentes en un cuerpo sometido a un cierto estado de cargas y con unas ciertas restricciones, importan en general las tensiones principales, que son las tensiones que existen sobre ciertos planos del cuerpo, donde las tensiones de corte nulas. Estas tensiones son de importancia para el estudio de la resistencia mecánica de una pieza. IMAGEN: es.wikipedia.org Propiedades del Círculo de Mohr El centro del circulo de mohr se encuentra en el eje Ơ en (Ơprom. 0). Los puntos del circulo que está arriba del eje Ơ (es decir, τ negativo) corresponde a las caras que tiene un esfuerzo cortante que actúa en el sentido de movimiento de las manecillas del reloj los punto que están a bajo del eje Ơ( es decir τ positivo) corresponde a caras que tienen el esfuerzo cortante en sentido inverso al movimiento de las manecillas de reloj. El radio del círculo se determina aplicando el teorema de Pitágoras al triangulo cuyos catetos son Τxy y(Ơx-Ơy/2) ANÁLISIS DE ESFUERZOS BAJO CARGAS COMBINADAS El procedimiento de análisis que se describirá a continuación se aplicara para resolver varios problemas de análisis de esfuerzos, que implican diversas combinaciones de tipo de carga: axial, de torsión y de flexión. Procedimiento de análisis de esfuerzo para cargas El siguiente Procedimiento de tres paso es útil para calcular los esfuerzos debidos para cargas combinadas. a) determinar las resultantes internas :esto, naturalmente, implica trazar diagramas de cuerpo libre y plantear ecuaciones de equilibrio. Para los problemas estáticamente indeterminados también se debe tomar en cuenta el comportamiento del material y la geometría de la deformación. b) calcular los esfuerzos individuales: para calcular la distribuciones de esfuerzos causados por las diversas resultantes de esfuerzos se emplean fórmulas como los de la lista de la tabla presenta fórmulas para esfuerzos en recipientes a presión de pared delgada. c) combinar los esfuerzos individuales: este paso consiste en sumar algebraicamente los esfuerzos a fines (por ejemplo, 2Ơ en la misma cara) o emplear el círculo de mohr cuando los esfuerzos son distintos por ejemplo, Ơx  y Ơy . en la mayor parte de  los casos se piden los esfuerzos principales y el fuerzo cortante máximo y se pueden obtener por medio del circulo de mohr de esfuerzos  Imagen: ing.puc.cl Estructuras ANALISIS DE ESTRUCTURAS RÍGIDAS Viga: Una viga es un miembro estructural donde las cargas aplicadas son principalmente perpendiculares al eje, por lo que el diseño predominante es a flexión y corte; si las cargas no son perpendiculares se produce algo de fuerza axial, pero esta no es determinante en el diseño

                   Pórtico: Se conoce como pórtico al conjunto de vigas y columnas en el cual las uniones son rígidas y su diseño está gobernado por flexión en las vigas y flexocompresión en las columnas

Estructuras estáticamente determinadas o isostáticas

Se considera que una viga es estáticamente determinada o isostática cuando se pueden determinar las reacciones mediante la aplicación de las ecuaciones de equilibrio; esto implica que el número de reacciones en la viga sea igual a tres. Esta condición es necesaria pero no suficiente para que la viga este completamenteinmovilizada1; por ello antes de resolver una viga isostática se debe analizar la estabilidad.

Cuando el número de reacciones en una viga es menor a tres, se dice que la viga está parcialmente inmovilizada o inestable, porque las reacciones no son suficientes para impedir todos los posibles movimientos y por lo tanto no estaría en equilibrio.

Por otra parte, al tener mas de tres reacciones la viga es estáticamente indeterminada o hiperestática, para analizar estas vigas se requiere considerar las deformaciones que van a proporcionar las ecuaciones adicionales para que el sistema sea determinado2. Las vigas hiperestáticas tienen más reacciones de las necesarias para que el cuerpo esté en equilibrio, por lo cual queda restringida la posibilidad de movimiento

Tipos de vigas

Las vigas empleadas en una estructura pueden clasificarse según su número de reacciones en dos grupos: isostática e hiperestáticas, dentro de cada grupo hay una variedad de formas que varían según el tipo y posición de los apoyos. De manera general, encontramos dos tipos de vigas isostáticas, mientras que las hiperestáticas pueden ser de 5. La figura muestra en forma esquemática los diferentes tipos y también la forma que cada viga tiende a adoptar a medida que se deforma bajo la carga

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Columnas

Una columna es un elemento axial sometido a compresión, lo bastante delgado respecto su longitud, para que abajo la acción de una carga gradualmente creciente se rompa por flexión lateral o pandeo ante una carga mucho menos que la necesaria para romperlo por aplastamiento. Las columnas suelen dividirse en dos grupos: “Largas e Intermedias”. A veces, los elementos cortos a compresión se consideran como un tercer grupo de columnas. Las diferencias entre los tres grupos vienen determinadas por su comportamiento. Las columnas largas re rompen por pandeo o flexión lateral; las intermedias, por combinación de esfuerzas, aplastamiento y pandeo, y los postes cortos, por aplastamiento.

Una columna ideal es un elemento homogéneo, de sección recta constante, inicialmente perpendicular al eje, y sometido a compresión. Sin embargo, las columnas suelen tener siempre pequeñas imperfecciones de material y de fabricación, así como una inevitable excentricidad accidental en la aplicación de la carga. La curvatura inicial de la columna, junto con la posición de la carga, dan lugar a una excentricidad indeterminada, con respecto al centro de gravedad, en una sección cualquiera. El estado de carga en esta sección es similar al de un poste corto cargado excéntricamente, y el esfuerzo resultante está producido por la superposición del esfuerzo directo de compresión y el esfuerzo de flexión (o mejor dicho, por flexión).

Si la excentricidad es pequeña u el elemento es corto, la flexión lateral es despreciable, y el esfuerzo de flexión es insignificante comparado con el esfuerzo de compresión directo. Sin embargo, en un elemento largo, que es mucho más flexible ya que las flexiones son proporcionales al cubo de la longitud, con u valor relativamente pequeño de la carga P puede producirse un esfuerzo de flexión grande, acompañado de un esfuerzo directo de compresión despreciable. Así, pues, en las dos situaciones extremas, una columna corta soporta fundamentalmente el esfuerzo directo de compresión, y una columna larga está sometida principalmente al esfuerzo de flexión. Cuando aumenta la longitud de una columna disminuye la importancia y efectos del esfuerzo directo de compresión y aumenta correlativamente las del esfuerzo de flexión. Por desgracia, en la zona intermedia no es posible determinar exactamente la forma en que varían estos dos tipos de esfuerzos, o la proporción con la que cada una contribuye al esfuerzo total. Es esta indeterminación la que da lugar a la gran variedad de fórmulas para las columnas intermedias.

No se ha dado, hasta aquí, criterio alguno de diferenciación entre columnas largas e intermedias, excepto en su forma de trabajar, es decir, la columna larga está sometida esencialmente a esfuerzos de flexión y la intermedia lo está a esfuerzos de flexión y compresión directa. La distribución entre ambos tipos de acuerdo con su longitud sólo puede comprenderse después de haber estudiado las columnas largas.

CARGAS CRÍTICAS

Coloquemos verticalmente una viga muy esbelta, articulémosla en sus extremos mediante rótulas que permitan la flexión en todas sus direcciones. Apliquemos una fuerza horizontal H en sus puntos medios, de manera que produzca flexión según la dirección de máxima flexibilidad. Como los esfuerzos de flexión son proporcionales a la deflexión, no experimentarán variación alguna si se añade una fuerza axial P en cada extremo, y haciendo que H disminuya simultáneamente con el aumento de P de manera que la deflexión 

 en el centro no varíe. Es estas condiciones, el momento flexionarte en el centro e

M = H/2*(L/2) + P 

y, en el límite, cuando H ha disminuido hasta anularse,

M = (Pcr)* 

Entonces, Pcr es la carga crítica necesaria para mantener la columna deformada sin empuje lateral alguno. Un pequeño incremento de P sobre este valor crítico hará que aumente la deflexión 

, lo que incrementará M, con lo cual volverá aumentar 

 y así sucesivamente hasta que la columna se rompa por pandeo. Por el contrario, si P disminuye ligeramente por debajo de su valor crítico, disminuye la deflexión, lo que a su vez hace disminuir M, vuelve a disminuir 

, etc., y la columna termina por enderezarse por completo. Así, pues, la carga crítica puede interpretarse como la carga axial máxima a la que puede someterse una columna permaneciendo recta, aunque en equilibrio inestable, de manera que un pequeño empuje lateral haga que se deforme y quede pandeada.

FORMULA DE EULER

En el año 1757, el gran matemático suizo Leonardo Euler realizó un análisis teórico de la carga crítica para columnas esbeltas basado en la ecuación diferencial de la elástica:

M = EI(d2y/dx2)

Ahora se sabe que este análisis es valido hasta que los esfuerzos alcanzan el límite de proporcionalidad. En tiempo de Euler no se habían establecido los conceptos de esfuerzo, ni de límite de proporcionalidad, por lo que él no tubo en cuenta la existencia de una límite superior de la carga crítica.

Cuando una columna está sometida a una carga P. Se supone que la columna tiene los extremos articulados (mediante rótulas o pasadores) de manera que no pueden tener desplazamientos laterales. La deflexión máxima 

es lo suficientemente pequeña para que no exista diferencia apreciable entre la longitud inicial de la columna y su proyección sobre el eje vertical. En estas condiciones, la pendiente dy/dx es pequeña y se puede aplicar la ecuación diferencial aproximada de la elástica de una viga:

EI(d2y/dx2) = M = P(-y) = -Py

El momento M es positivo al pandear la columna en el sentido contrario al del reloj, por lo que al ser la y negativa, ha de ir precedida del signo menos. Si la columna se pandara en sentido contrario, es decir, en la dirección de y positiva, el momento sería negativo, de acuerdo con el criterio de signos adoptado.

La ecuación anterior no se puede integrar directamente, como se hacía anteriormente ya que allí M solamente era función de x. Sin embargo, presentamos dos métodos para resolverla. Conociendo algo de dinámica nos damos cuenta que la ecuación anterior es semejante a la ecuación de un cuerpo que vibra simplemente:

M(d2x/dx2) = -kx

para lo cual una solución general es:

x = C1sen(t"(k/m)) + C2cos(t"(k/m))

de aquí, por analogía, la solución de la ecuación viene dada por:

y = C1sen(x"(P/EI)) + C2cos(x"(P/EI))

LIMITACIONES DE LA FORMULA DE EULER

Una columna tiene a pandearse siempre en la dirección en la cual es mas flexible. Como la resistencia a la flexión varia con el momento de inercia, el valor de I en la formula de Euler es siempre el menor momento de inercia de la sección recta. La tendencia al pandeo tiene lugar, pues, con respecto al eje principal de momento de inercia mínimo de la sección recta.

La fórmula de Euler también demuestra que la carga crítica que puede producir el pandeo no depende de la resistencia del material, sino de sus dimensiones y del módulo de elástico. Por este motivo, dos barras de idénticas dimensiones, una de acero de alta resistencia y otra de acero suave, se pandearán bajo la misma carga crítica ya que aunque sus resistencias son muy diferentes tienen prácticamente el mismo modulo elástico. Así pues, para aumenta la resistencia al pandeo, interesa aumentar lo más posible el momento de inercia de la sección. Para un área dada, el material debe distribuirse tan lejos como sea posible del centro de gravedad y de tal manera que los momentos de inercia con respecto a los ejes principales sean iguales, o lo más parecidos posible ( como en una columna hueca).

Bibliografia

Beer, F. y Johnson, E (1979). Mecanica Vectorial para Ingenieros, Estatica, Colombia: McGraw-Hill Latinoamerica, S.A.

Parker, H y Ambrose, J. (1995) Ingenieria Simplificada Para Arquitectos y Constructores. México D.F,. México: Editorial LIMUSA S.A de C.V